양자역학의 등장과 뉴턴역학의 의의 (1편)
1) 맥스웰 방정식과 로런츠 변환
2) 뉴턴역학과 양자역학의 공존
맥스웰 방정식과 로런츠 변환
맥스웰 방정식의 결론은 진공 속에서 나아가는 빛의 속도가 누구에게나 일정하다는 것이다. 맥스웰 방정식은 기본적인 물리 법칙으로, 언제 어디서나 적용되어야 한다. 운동하는 관찰자가 어디에 있든 맥스웰 방정식은 성립한다. 한편, 아인슈타인은 시공간이 관찰자에 따라 달리 보인다는 상식에서 벗어난 주장을 했다. 우리가 한 번쯤 흔히 들어본 ‘특수상대성이론’이 바로 그것이다. 시공간은 보편적으로 적용되지 않고, 측정하는 사람에 따라 다르다. 상대적이라는 뜻에서 상대성이론이라고 부른다. 앞에 '특수'가 붙은 이유는 훗날 아인슈타인이 중력을 포함하여 일반화한 일반상대성이론과 구분하기 위해서다.
로런츠 변환에 따르면 운동하는 관측자의 시공간은 뒤섞여 있다. 가만히 있는 사람이 운동하는 사람을 보면 시간이 천천히 흐르는 것처럼 보인다. 예를 들어 지상에 서있는 사람이 빠르게 날아가는 로켓에 탄 사람을 보면 동영상을 느리게 재생하는 것처럼 보인다. 또한 로켓에 탄 사람의 길이가 진행 방향으로 줄어 보인다. 이를 일컬어 로런츠 수축이라고 한다.
로런츠 변환의 수식은 간단해서 중등 수학 수준에서 설명된다. 다만 시공간에 관한 기존의 상식을 내려놔야 한다는 점에서 어렵다고 느낄 수도 있다. 절대적 기준이 없는 우주 공간에서는 속도 또한 상대적인 것으로 상정한다. 자신을 중심에 두고 바라보면 내가 가만히 있고 타인이 움직이지만, 타인이 보기에는 내가 움직이고 상대가 가만히 있는 것이다. 이를 앞선 예시에 적용하면, 움직일 때의 시간은 느리게 보인다고 했는데, 상대성에 따르면 상대가 보기에도 내 시간이 느리게 보일 것이다.
로런츠 변환이라는 수식은 가만있는 사람의 물리 법칙을 운동하는 사람의 물리 법칙으로 변환한다. 다시 말해서가만있는 사람의 시점을 운동하는 사람의 시점으로 바꿔 준다. 맥스웰 방정식은 로런츠 변환에 영향을 받지 않는다. 즉 가만 있는 사람에게나 운동하는 사람에게나 같은 물리 법칙이 적용된다. 맥스웰 방정식에 따르면 진공 속에서 빛이 나아가는 속도가 결정되므로 맥스웰 방정식이 성립하는 한 빛의 속도는 하나뿐이다. 따라서 운동상태와 상관없이 빛의 속도는 변하지 않는다.
뉴턴역학과 양자역학의 공존
뉴턴 역학의 방정식은 로런츠 변환에 의해 형태가 바뀐다. 한때는 뉴턴의 운동 방정식도 서 있든 운동하든 변함없이 성립하는 줄 알았다. 시간은 모든 사람에게 동일한 것이라고 여겼기 때문이다. 뉴턴의 운동 방정식을 변화시키지 않으면서 가만있는 사람에서 운동하는 사람으로 시점을 바꾸는 것을 ‘갈릴레이 변환’이라고 한다. 갈릴레이 변환에서는 서로 다른 사람 사이에서 시간이 변화하지 않는다. 따라서 시공간이 뒤섞이는 로런츠 변환과는 충돌한다.
시공간은 항상 필요하므로 로런츠 변환과 갈릴레이 변환 둘 중 하나는 틀릴 수밖에 없다. 빛의 속도가 누구에게나 일정하다는 사실을 통해 로런츠 변환이 유도되었으므로 갈릴레이 변환은 틀렸다는 결론이 도출된다. 뉴턴의 운동 방정식은 갈릴레이 변환으로는 형태가 바뀌지 않으나, 로렌츠 변환으로는 형태가 바뀐다. 갈릴레이 변환이 틀린 이상, 뉴턴의 운동 방정식은 형태가 바뀌지 않는다. 즉, 가만있는 사람과 운동하는 사람에게 다르게 적용된다.
물체의 운동 속도가 빛의 속도보다 아주 현저히 작다면 갈릴레이 변환과 로렌츠 변환은 별 차이가 없어진다. 실제로 우리 주위 물체의 운동 속도는 빛의 속도에 비해 매우 느리다. 따라서 일상에서는 갈릴레이 변환이나 로렌츠 변환이나 값이 비슷해진다. 다시 말하면 뉴턴의 운동 방정식을 로런츠 변환해도 형태가 거의 일정하다.
빛의 속도보다 현저히 느린 세계에서는 기존 뉴턴 역학이 정확성도 높고, 무엇보다 다른 이론에 비해 실용성이 높다. 따라서 상대성 이론으로 인해 뉴턴 역학이 폐기되는 것은 아니다. 굳이 일상 문제에 복잡한 상대성 이론을 적용할 필요가 없다. 뉴턴 역학이 모든 세게의 모든 상황을 설명하는 완벽한 이론은 아니지만, 일상생활에서는 매우 유용한 이론이다.
이는 양자역학도 마찬가지다. 양자역학은 뉴턴의 역학과 맥스웰 방정식 등의 고전 이론이 항상 옳은 것은 아니라는 사실을 밝혀냈다. 하지만 위의 상대성이론과 마찬가지로 일상 문제를 설명할 때는 양자역학이 거의 필요하지 않다. 훨씬 간단한 고전 이론만으로도 충분히 정확하게 설명할 수 있기 때문이다.
새롭게 등장한 이론은 기존 이론보다 광범위하게 적용 가능하지만, 기존 이론은 여전히 실용성 높게 쓰일 수 있다. 예를 들어 누구나 지동설이 옳다고 알고 있지만, 우리는 여전히 천동설의 용어를 빌리고 있다. “해가 동에서 떠서 서로 진다”라는 표현은 천동설을 전제로 한 것이다. 지동설에 따르면 “지구의 자전으로 내가 있는 지표면이 해가 보이는 쪽을 향했다가 다시 해가 보이지 않는 쪽을 향했다”라고 해야 한다. 그런 번거로운 표현을 쓰는 사람은 없다. 마치 일상 생활을 설명할 때 복잡하고 난해한 상대성 이론 혹은 양자역할을 쓰지 않는 것도 마찬가지라고 생각하면 된다.
『물리학은 처음인데요』 저자 마쓰바라 다카히코
유용성 ★★★★☆
재미 ★★☆☆☆
추천 ★★★★☆
2편은 아인슈타인의 일반상대성이론에 대한 글입니다.
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